Question

已知二次函数f（x）=ax²+x．
（1）设函数g（x）=（1-2t）x+t²-1，当a=1，函数h（x）=f（x）+g（x）在区间（-2，4）内有两个相异的零点，求实数t的取值范围．
（2）当a＞0，求证对任意两个不等的实数x₁，x₂，都有f(

x1+x2

2

)＜

f(x1)+f(x2)

2

；
（3）若x∈[0，1]时，-1≤f（x）≤1，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）当a=1，函数h（x）=x²+（2-2t）x+t²-1，由题意可得

h(-2)=t2+4t-1＞0 h(4)=t2-8t+23＞0 h(t-1)=2t-2 ＜0

，由此求得实数t的取值范围
（2）计算f(x1)+f(x2)-2f(

x1+x2

2

)，化简可得

1

2

a(x1-x2)2＞0，从而证得结论．
（3）由题意可得x∈[0，1]时，-1≤ax²+x≤1，当x=0时，显然成立．当x∈（0，1]时，由ax²+x+1≥0恒成立，求得a≥-2；由ax²+x-1≤0恒成立，求得a≤0．再由a不等于0，从而求得a的取值范围．

解答：解：（1）当a=1，函数h（x）=f（x）+g（x）=x²+（2-2t）x+t²-1．
由题意可得

h(-2)=t2+4t-1＞0 h(4)=t2-8t+23＞0 h(t-1)=2t-2 ＜0

，即

t＜-2- 5 ，  或 t＞-2+ 5 t∈R t＜1

，解得-2+

5

＜t＜1．
故实数t的取值范围为（-2+

5

，1）．
（2）∵f(x1)+f(x2)-2f(

x1+x2

2

)=a

x

2 1

+x1+a

x

2 2

+x2-2[a(

x1+x2

2

)2+a(

x1+x2

2

)] 
=

1

2

a(x1-x2)2＞0，
故对任意两个不等的实数x₁，x₂，都有f(

x1+x2

2

)＜

f(x1)+f(x2)

2

．
（3）由题意可得x∈[0，1]时，-1≤f（x）≤1，即-1≤ax²+x≤1，
即x∈[0，1]时，ax²+x+1≥0且ax²+x-1≤0恒成立，
当x=0时，显然，ax²+x+1≥0且ax²+x-1≤0均成立．
当x∈（0，1]时，由ax²+x+1≥0恒成立，得a≥-

1

x2

-

1

x

=-(

1

x

+

1

2

)2+

1

4

，
而-(

1

x

+

1

2

)2+

1

4

在x∈（0，1]最大值为-2，∴a≥-2．
当x∈（0，1]时，由ax²+x-1≤0恒成立，得a≤

1

x2

-

1

x

=(

1

x

-

1

2

)2-

1

4

，
而(

1

x

-

1

2

)2-

1

4

在x∈（0，1]最小值为0，∴a≤0．
综上可得，-2≤a≤0．
而由题意可得a≠0，因此所求的a的取值范围为[-2，0）．

点评：本题主要考查了一元二次方程的根的分布与系数的关系，二次函数的性质的应用，函数的恒成立问题，属于中档题．