Question

【题目】已知f（x）= 是奇函数．
（1）求f（x）的单调区间；
（2）关于x的不等式2m﹣1＞f（x）有解，求m的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵ 是奇函数，∴f（x）+f（﹣x）=0恒成立

∴（a+b）x2+a=0恒成立，∴a=0，b=0

∴ ，

由f'（x）＞0，得﹣1＜x＜1；由f'（x）＜0，得x＞1或x＜﹣1故函数f（x）的增区间为（﹣1，1），f（x）的减区间为（﹣∞，﹣1）和（1，+∞）.

（2）

解：∵2m﹣1＞f（x）有解，∴2m﹣1＞f（x）min即可

当x＞0时，f（x）＞0；当x=0时，f（0）=0；当x＜0时，f（x）＜0

由（I）知f（x）在（﹣∞，﹣1）上为减函数，在（﹣1，0）上为增函数

∴f（x）min=f（﹣1）=﹣1

∴2m﹣1＞﹣1，∴m＞0

【解析】（1）利用函数是奇函数，得到f（x）+f（﹣x）=0恒成立，推出a=0，b=0，化简函数的解析式，求出函数的导数，由f'（x）＞0，由f'（x）＜0，求解函数的单调区间．（2）利用2m﹣1＞f（x）有解，推出2m﹣1＞f（x）min即可，利用函数的单调性求解函数的最值，求解即可．
【考点精析】解答此题的关键在于理解利用导数研究函数的单调性的相关知识，掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减．