Question

【题目】已知函数，

(1)求函数的单调区间；

(2)若函数有两个零点，()，求证： ．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析.

【解析】试题分析：（1）去绝对值，分为时， ，函数单调递增；当时，根据导数与0的关系得其单调性；（2）由（1）知，当时，函数单调递增，函数至多只有一个零点，不合题意；则必有，此时函数的单调递减区间为；单调递增区间为，进一步得出和，从而得出答案.

试题解析：(1)依题意有，函数的定义域为，当时， ， ，函数的单调增区间为， 当时， ，若， ，此时函数单调递增， 若， ，此时函数单调递减，综上所述，当时，函数的单调增区间为，当时，函数的单调减区间为，单调增区间为

(2)由(1)知，当时，函数单调递增，至多只有一个零点，不合题意；则必有， 此时函数的单调减区间为，单调增区间为，由题意，必须，解得由， ，得，而，下面证明： 时，

设，()，则，所以在时递增，则，所以，又因为，所以，综上所述， .