Question

9．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=2，AB=1，BM⊥PD于点M．求直线BM与平面ACM所成的角的正弦值．

Answer 1

分析 可分别以AB，AD，AP三直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，并可求出图形上一些点的坐标，根据M在PD上，从而可设M（0，y，2-y），根据$\overrightarrow{BM}•\overrightarrow{PD}=0$可求出y=1，从而可求出点M的坐标．可设平面ACM的法向量为$\overrightarrow{m}=（{x}_{1}，{y}_{1}，{z}_{1}）$，根据$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AM}=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AC}=0}\end{array}\right.$便可求出$\overrightarrow{m}$，设BM和平面ACM所成角为θ，从而根据$sinθ=|cos＜\overrightarrow{BM}，\overrightarrow{m}＞|=\frac{|\overrightarrow{BM}•\overrightarrow{m}|}{|\overrightarrow{BM}||\overrightarrow{m}|}$即可求出sinθ．

解答 解：根据条件知，AB，AD，AP三直线两两垂直，分别以这三直线为x，y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系，则：
A（0，0，0），B（1，0，0），C（1，2，0），D（0，2，0），P（0，0，2）；
M在棱PD上，设M（0，y，2-y），则：$\overrightarrow{PD}=（0，2，-2）$，$\overrightarrow{BM}=（-1，y，2-y）$；
∵BM⊥PD；
∴$\overrightarrow{BM}•\overrightarrow{PD}=2y-2（2-y）=0$；
∴y=1，M（0，1，1）；
∴$\overrightarrow{BM}=（-1，1，1），\overrightarrow{AM}=（0，1，1）$，$\overrightarrow{AC}=（1，2，0）$；
设平面ACM的法向量为$\overrightarrow{m}=（{x}_{1}，{y}_{1}，{z}_{1}）$，则：
$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AM}={y}_{1}+{z}_{1}=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AC}={x}_{1}+2{y}_{1}=0}\end{array}\right.$；
取y₁=1，则x₁=-2，z₁=-1，∴$\overrightarrow{m}=（-2，1，-1）$；
设BM与平面ACM所成角为θ，则：
$sinθ=|cos＜\overrightarrow{BM}，\overrightarrow{m}＞|$=$\frac{|\overrightarrow{BM}•\overrightarrow{m}|}{|\overrightarrow{BM}||\overrightarrow{m}|}=\frac{2}{\sqrt{3}•\sqrt{6}}=\frac{\sqrt{2}}{3}$；
∴直线BM与平面ACM所成的角的正弦值为$\frac{\sqrt{2}}{3}$．

点评 考查通过建立空间直角坐标系，利用空间向量解决线面角问题的方法，能求空间点的坐标，根据坐标可求向量的坐标，向量垂直的充要条件，平面法向量的概念及求法，以及线面角的概念，向量夹角的余弦公式，清楚线面角和直线方向向量与平面的法向量夹角的关系．