Question

13．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且csinC-bsinB=（a-b）sinA．
（1）求角C；
（2）若c=5，a+b=7，求△A BC面积．

Answer 1

分析 （1）使用正弦定理得c²-b²=（a-b）a，得出a²+b²-c²=ab．利用余弦定理C．
（2）使用余弦定理得出a²+b²=c²+ab=25+ab．对a+b=7两边平方得出ab，代入面积公式求面积．

解答 解：（1）∵csinC-bsinB=（a-b）sinA，∴c²-b²=（a-b）a=a²-ab，∴a²+b²-c²=ab．
∴cosC=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$=$\frac{1}{2}$．∴C=$\frac{π}{3}$．
（2）∵cosC=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$=$\frac{1}{2}$．∴a²+b²-c²=ab，∴a²+b²=c²+ab=25+ab．
∵a+b=7，∴a²+b²+2ab=49，∴25+ab+2ab=49．解得ab=8．
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}absinC$=$\frac{1}{2}×8×$$\frac{\sqrt{3}}{2}$=2$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了正余弦定理在解三角形中的应用，解出ab是解题关键，属于中档题．