Question

7．如图，正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，D是BC的中点AA₁=AB=1
（1）求证：A₁C∥平面AB₁D
（2）求二面角B-AB₁-D的余弦值．

Answer 1

分析 建立空间直角坐标系D-xyz，
（1）证明：连接A₁B，设A₁B∩AB₁=E，连接DE．设A₁A=AB=1，证明$\overrightarrow{{A_1}C}=-2\overrightarrow{DE}$，然后证明A₁C∥平面AB₁D．
（2）求出平面AB₁D的法向量，平面AB₁B的法向量，设二面角B-AB₁-D的大小为θ，利用空间向量的数量积求解即可．

解答 解：建立空间直角坐标系D-xyz，如图，
（1）证明：连接A₁B，设A₁B∩AB₁=E，连接DE．
设A₁A=AB=1，则$D（0，0，0），{A_1}（0，\frac{{\sqrt{3}}}{2}，1），E（-\frac{1}{4}，\frac{{\sqrt{3}}}{4}，\frac{1}{2}），C（\frac{1}{2}，0，0）$．
∴$\overrightarrow{{A_1}C}=（\frac{1}{2}，-\frac{{\sqrt{3}}}{2}，-1），\overrightarrow{DE}=（-\frac{1}{4}，\frac{{\sqrt{3}}}{4}，\frac{1}{2}）$，∴$\overrightarrow{{A_1}C}=-2\overrightarrow{DE}$，
∴A₁C∥DE．∵DE?平面AB₁D，A₁C?平面AB₁D，∴A₁C∥平面AB₁D．
（2）∵$A（0，\frac{{\sqrt{3}}}{2}，0），{B_1}（-\frac{1}{2}，0，1）$，∴$\overrightarrow{AD}=（0，\frac{{\sqrt{3}}}{2}，0），\overrightarrow{{B_1}D}=（\frac{1}{2}，0，-1）$，
设$\overrightarrow{{n}_{1}}$=（p，q，r）是平面AB₁D的法向量，则$\overrightarrow{{n}_{1}}•\overrightarrow{AD}=0，且\overrightarrow{{n}_{1}}•\overrightarrow{{B}_{1}D}=0$，
故$-\frac{\sqrt{3}}{2}q=0，\frac{1}{2}p-r=0．取r=1，得\overrightarrow{{n}_{1}}=（2，0，1）$；
同理，可求得平面AB₁B的法向量是$\overrightarrow{{n}_{2}}=（\sqrt{3}，-1，0）$．
设二面角B-AB₁-D的大小为θ，$cosθ=\frac{\overrightarrow{{n}_{1}}•\overrightarrow{{n}_{2}}}{|\overrightarrow{{n}_{1}}||\overrightarrow{{n}_{2}}|}=\frac{\sqrt{15}}{5}$．

点评 本题考查直线与平面平行的判定定理的应用，二面角的平面角的求法，考查空间想象能力以及计算能力．