分析 建立空间直角坐标系D-xyz,
(1)证明:连接A1B,设A1B∩AB1=E,连接DE.设A1A=AB=1,证明$\overrightarrow{{A_1}C}=-2\overrightarrow{DE}$,然后证明A1C∥平面AB1D.
(2)求出平面AB1D的法向量,平面AB1B的法向量,设二面角B-AB1-D的大小为θ,利用空间向量的数量积求解即可.
解答 解:建立空间直角坐标系D-xyz,如图,
(1)证明:连接A1B,设A1B∩AB1=E,连接DE.
设A1A=AB=1,则$D(0,0,0),{A_1}(0,\frac{{\sqrt{3}}}{2},1),E(-\frac{1}{4},\frac{{\sqrt{3}}}{4},\frac{1}{2}),C(\frac{1}{2},0,0)$.
∴$\overrightarrow{{A_1}C}=(\frac{1}{2},-\frac{{\sqrt{3}}}{2},-1),\overrightarrow{DE}=(-\frac{1}{4},\frac{{\sqrt{3}}}{4},\frac{1}{2})$,∴$\overrightarrow{{A_1}C}=-2\overrightarrow{DE}$,
∴A1C∥DE.∵DE?平面AB1D,A1C?平面AB1D,∴A1C∥平面AB1D.
(2)∵$A(0,\frac{{\sqrt{3}}}{2},0),{B_1}(-\frac{1}{2},0,1)$,∴$\overrightarrow{AD}=(0,\frac{{\sqrt{3}}}{2},0),\overrightarrow{{B_1}D}=(\frac{1}{2},0,-1)$,
设$\overrightarrow{{n}_{1}}$=(p,q,r)是平面AB1D的法向量,则$\overrightarrow{{n}_{1}}•\overrightarrow{AD}=0,且\overrightarrow{{n}_{1}}•\overrightarrow{{B}_{1}D}=0$,
故$-\frac{\sqrt{3}}{2}q=0,\frac{1}{2}p-r=0.取r=1,得\overrightarrow{{n}_{1}}=(2,0,1)$;
同理,可求得平面AB1B的法向量是$\overrightarrow{{n}_{2}}=(\sqrt{3},-1,0)$.
设二面角B-AB1-D的大小为θ,$cosθ=\frac{\overrightarrow{{n}_{1}}•\overrightarrow{{n}_{2}}}{|\overrightarrow{{n}_{1}}||\overrightarrow{{n}_{2}}|}=\frac{\sqrt{15}}{5}$.
点评 本题考查直线与平面平行的判定定理的应用,二面角的平面角的求法,考查空间想象能力以及计算能力.
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