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P是平面ABCD外的点,四边形ABCD是平行四边形,数学公式=(2,-1,-4),数学公式=(4,2,0),数学公式=(-1,2,-1).
(1)求证:PA⊥平面ABCD;
(2)对于向量数学公式=(x1,y1z1),数学公式,定义一种运算:数学公式,试计算数学公式的绝对值;说明其与几何体P-ABCD的体积关系,并由此猜想向量这种运算数学公式的绝对值的几何意义.

解:(1),∴,即AP⊥AB.,即PA⊥AD.
∴PA⊥面ABCD.
(2),又
V=
猜测:在几何上可表示以AB,AD,AP为棱的平行六面体的体积(或以AB,AD,AP为棱的四棱柱的体积).
分析:(1)证明与平面ABCD内的两个不共线的向量垂直,即证明与此平面内的两个不共线的向量的数量积等于0.
(2)根据体题中定义的运算法则,化简 的结果,发现此值正好等于以AB,AD,AP为棱的平行六面体的体积.
点评:本题考查直线和平面垂直的方法,以及利用题中的新定义的运算法则计算的结果,体现了数形结合的数学思想,属于中档题.
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科目:高中数学 来源: 题型:

精英家教网P是平面ABCD外的点,四边形ABCD是平行四边形,
AB
=(2,-1,-4),
AD
=(4,2,0),
AP
=(-1,2,-1).
(1)求证:PA⊥平面ABCD;
(2)对于向量
a
=(x1,y1z1),
b
=(x2y2z2),
c
=(x3y3z3)
,定义一种运算:(
a
×
b
)•
c
=x1y2z3+x2y3z1+x3y1z2-x1y3z2-x2z3-x3y2z1
,试计算(
AB
×
AD
)-
AP
的绝对值;说明其与几何体P-ABCD的体积关系,并由此猜想向量这种运算(
AB
×
AD
)-
AP
的绝对值的几何意义.

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科目:高中数学 来源: 题型:

9、如图,已知四边形ABCD是平行四边形,点P是平面ABCD外的一点,则在四棱锥P-ABCD中,M是PC的中点,在DM上取一点G,过G和AP作平面交平面BDM于GH.
求证:AP∥GH.

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科目:高中数学 来源:2009-2010学年浙江省杭州十四中高二(上)期中数学试卷(理科)(解析版) 题型:解答题

P是平面ABCD外的点,四边形ABCD是平行四边形,=(2,-1,-4),=(4,2,0),=(-1,2,-1).
(1)求证:PA⊥平面ABCD;
(2)对于向量=(x1,y1z1),,定义一种运算:,试计算的绝对值;说明其与几何体P-ABCD的体积关系,并由此猜想向量这种运算的绝对值的几何意义.

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科目:高中数学 来源:金版人教A版数学理科:立体几何初步6(必修2、选修2-1)(解析版) 题型:解答题

P是平面ABCD外的点,四边形ABCD是平行四边形,=(2,-1,-4),=(4,2,0),=(-1,2,-1).
(1)求证:PA⊥平面ABCD;
(2)对于向量=(x1,y1z1),,定义一种运算:,试计算的绝对值;说明其与几何体P-ABCD的体积关系,并由此猜想向量这种运算的绝对值的几何意义.

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科目:高中数学 来源:2011年高考数学复习:7.4 直线、平面平行的判定和性质(1)(解析版) 题型:解答题

如图,已知四边形ABCD是平行四边形,点P是平面ABCD外的一点,则在四棱锥P-ABCD中,M是PC的中点,在DM上取一点G,过G和AP作平面交平面BDM于GH.求证:AP∥GH.

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