Question

已知圆M：x²+y²-4x=0及一条抛物线，抛物线的顶点在原点，焦点是M的圆心F，过F作倾角为α的直线l与抛物线及圆由上至下依次交于A、B、C、D四点，则|AB|+|CD|的最小值为

 

．

Answer 1

分析：把圆的一般式方程化为标准式，求出圆心坐标和半径，得到抛物线的标准方程，分直线的斜率存在和不存在讨论，当直线的斜率存在时，设出直线方程，分别和圆的方程及抛物线方程联立后利用弦长公式求出弦长，作差后分析|AB|+|CD|的范围，当斜率不存在时，直接利用抛物线的通径长减去圆的直径得|AB|+|CD|的值，从而|AB|+|CD|的最小值可求．

解答：解：由圆M：x²+y²-4x=0，得（x-2）²+y²=4，
∴圆M的圆心坐标为（2，0），半径为2．
∴抛物线的焦点F（2，0），又抛物线的顶点在原点，
∴抛物线方程为：y²=8x．
当α≠

π

2

时，
设过F点的直线l：y=a（x-2）．
如图：

|AB|+|CD|=|AD|-|BC|，
联立

y=ax-2a x2+y2-4x=0

，得（1+a²）x²-4（1+a²）x+4a²=0．
设B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），
则x1+x2=4，x1x2=

4a2

1+a2

．
∴|BC|=

1+a2

(x1+x2)2-4x1x2

=

1+a2

16- 16a2 1+a2

=4．
联立

y=ax-2a y2=8x

，得a²x²-（4a²+8）x+4a²=0．
设A（x₃，y₃），D（x₄，y₄），
x3+x4=4+

8

a2

．
∴|AD|=4+x3+x4=8+

8

a2

．
∴|AB|+|CD|=|AD|-|BC|=4+

8

a2

＞4；
当α=

π

2

时，AD为抛物线的通径，|AD|=8．
BC为圆的直径，|BC|=4，
∴|AB|+|CD|=4．
则|AB|+|CD|的最小值为4．
故答案为：4．

点评：本题考查了直线和圆、直线和抛物线的关系，考查了分类讨论的数学思想方法，训练了弦长公式的应用，考查了计算能力，是中档题．