Question

【题目】如图，AC1是正方体ABCD﹣A1B1C1D1的对角线．

（1）求证：平面A1BD∥平面CD1B1；
（2）求证：直线AC1⊥直线BD．

Answer 1

【答案】
（1）证明：在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，

∵A1B∥D1C，A1D∥B1C，A1B∩A1D=A1，

A1B，A1D平面A1BD，D1C，B1C平面CD1B1，

∴平面A1BD∥平面CD1B1

（2）证明：连接AC，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，

AC⊥BD，

∴C1C⊥平面ABCD，

∵BD平面ABCD，

∴C1C⊥BD，

∵AC⊥BD，C1C⊥BD，AC∩C1C=C，

∴直线BD⊥平面ACC1，

又AC1平面ACC1，

∴直线AC1⊥直线BD．

【解析】（1）推导出A1B∥D1C，A1D∥B1C，A1B∩A1D=A1 ， 由此能证明平面A1BD∥平面CD1B1 ． （2）连接AC，推导出AC⊥BD，C1C⊥BD，从而直线BD⊥平面ACC1 ， 由此能证明直线AC1⊥直线BD．
【考点精析】解答此题的关键在于理解平面与平面平行的判定的相关知识，掌握判断两平面平行的方法有三种:用定义；判定定理；垂直于同一条直线的两个平面平行，以及对直线与平面垂直的性质的理解，了解垂直于同一个平面的两条直线平行．