Question

19．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且acosC+（c-2b）cosA=0．
（1）求角A的大小；
（2）若△ABC的面积为$2\sqrt{3}$，且$a=2\sqrt{3}$，求b+c的值．

Answer 1

分析 （1）利用正弦定理以及两角和与差的三角函数化简求解A即可．
（2）通过三角形的面积，以及余弦定理，转化求解即可．

解答 解：（1）∵acosC+ccosA=2bcosA，
∴sinAcosC+sinCcosA=2sinBcosA…（2分）
即sin（A+C）=sinB=2sinBcosA…（4分）
∴$cosA=\frac{1}{2}$，∵0＜A＜π，∴$A=\frac{π}{3}$…（6分）
（2）∵$S=\frac{1}{2}bcsinA=\frac{1}{2}bc•\frac{{\sqrt{3}}}{2}=2\sqrt{3}$，
∴bc=8…（8分）
∵a²=b²+c²-2bccosA=（b+c）²-2bc-bc=（b+c）²-3bc，
∴（b+c）²=a²+3bc=12+24=36…（11分）
∴b+c=6…（12分）

点评 本题考查余弦定理的应用，正弦定理以及三角形的面积的求法，考查计算能力．