Question

若不等式kx²-kx-1＜0的解是全体实数，则实数k的取值范围是    ．

Answer 1

【答案】分析：先分类讨论：当k=0，有-1＜0恒成立；当k≠0，利用二次函数的性质求解，令y=kx²-kx-1，要y＜0恒成立，则开口向下，抛物线与x轴没公共点，即k＜0，且△＜0，解不等式即可得到k的取值范围；最后取两者之并即可．
解答：解：当k=0，有-1＜0恒成立；
当k≠0，令y=kx²-kx-1，
∵y＜0恒成立，
∴抛物线y=kx²-kx-1开口向下，且与x轴没公共点，
∴k＜0，且△=k²+4k＜0，
解得-4＜k＜0；
综上所述，k的取值范围为-4＜k≤0．
故答案为：（-4，0]．
点评：本题考查了函数恒成立问题，着重考查二次函数的图象与性质，同时考查了分类讨论思想的运用和转化思想，易错点在于忽略当k=0的情形，属于中档题．