Question

【题目】已知点是椭圆E： (a>b>0)上一点，离心率为.

(1)求椭圆E的方程；

(2)设不过原点O的直线l与该椭圆E交于P，Q两点，满足直线OP，PQ，OQ的斜率依次成等比数列，求△OPQ面积的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）（2）(0，)．

【解析】试题分析：（1）根据离心率得a,b,c三者关系，再代入点可得a2＝4，b2＝3.（2）因为直线OP，PQ，OQ的斜率依次成等比数列，可得 ，再直线l的方程为y＝kx＋m(m≠0)，联立直线方程与椭圆方程，利用韦达定理代入关系式得，根据点到直线距离公式得高，根据弦长公式得底边边长，结合三角形面积公式得关于m函数关系式，最后利用基本不等式求最值，得取值范围

试题解析：解：(1)由题意知，＝，

所以＝，a2＝b2.

又＋＝1，解得a2＝4，b2＝3.

因此椭圆E的方程为

(2)由题意可知，直线l的斜率存在且不为0，

故可设直线l的方程为y＝kx＋m(m≠0)，

P(x1，y1)，Q(x2，y2)，

由消去y得，

(3＋4k2)x2＋8kmx＋4(m2－3)＝0.

由题意知Δ＝64k2m2－16(3＋4k2)(m2－3)

＝16(12k2－3m2＋9)>0，

即4k2－m2＋3>0.

又x1＋x2＝－，x1x2＝

所以y1y2＝(kx1＋m)(kx2＋m)

＝k2x1x2＋km(x1＋x2)＋m2＝.

因为直线OP，PQ，OQ的斜率依次成等比数列，

所以·＝＝k2，

即(4k2－3)m2＝0，

∵m≠0，∴k2＝.

由于直线OP，OQ的斜率存在，且Δ>0，

得0<m2<6，且m2≠3.

设d为点O到直线l的距离，

则S△OPQ＝d|PQ|

＝× |x1－x2|

＝|m|

又因为m2≠3，

所以S△OPQ＝<×＝.

所以△OPQ面积的取值范围为(0，)．