【题目】如图所示的几何体中,ABC﹣A1B1C1为三棱柱,且AA1⊥平面ABC,四边形ABCD为平行四边形,AD=2CD,∠ADC=60°.
(1)若AA1=AC,求证:AC1⊥平面A1B1CD;
(2)若CD=2,AA1=λAC,二面角A﹣C1D﹣C的余弦值为 ,求三棱锥C1﹣A1CD的体积.
【答案】
(1)证明:连接A1C交AC1于E,因为AA1=AC,又A A1⊥平面ABCD,所以AA1⊥AC,
所以A1ACC1为正方形,所以A1C⊥AC1,
在△ACD中,AD=2CD,∠ADC=60°,由余弦定理得 AC2=AD2+CD2﹣2 ACDCcos60°,
所以 ,所以AD2=AC2+CD2,
所以CD⊥AC,又AA1⊥CD.所以CD⊥平面A1ACC1,
所以CD⊥AC1,所以AC1⊥平面A1 B1CD.
(2)如图建立直角坐标系,则D(2,0,0), , , ∴ ,
对平面 AC1D,因为 ,
所以法向量 ,
平面C1CD的法向量为 ,
由 ,得λ=1,
所以 A A1=AC,此时,CD=2, ,
所以
【解析】(1)连接A1C交AC1于E,证明AA1⊥AC,CD⊥AC,推出CD⊥平面A1ACC1 , 然后证明AC1⊥平面A1 B1CD.(2)如图建立直角坐标系,求出相关点的坐标,求出平面 AC1D的法向量 ,平面C1CD的法向量为 ,通过向量的数量积求出λ=1,然后利用等体积法求解体积即可.
【考点精析】关于本题考查的直线与平面垂直的判定,需要了解一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平面垂直;注意点:a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视;b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想才能得出正确答案.
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【题目】某高校在2012年的自主招生考试成绩中随机抽取名中学生的笔试成绩,按成绩分组,得到的频率分布表如表所示.
组号 | 分组 | 频数 | 频率 |
第1组 | 5 | ||
第2组 | ① | ||
第3组 | 30 | ② | |
第4组 | 20 | ||
第5组 | 10 |
(1)请先求出频率分布表中位置的相应数据,再完成频率分布直方图;
(2)为了能选拔出最优秀的学生,高校决定在笔试成绩高的第组中用分层抽样抽取名学生进入第二轮面试,求第3、4、5组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试;
(3)在(2)的前提下,学校决定在名学生中随机抽取名学生接受考官进行面试,求:第组至少有一名学生被考官面试的概率.
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【题目】已知f(x)是定义在R上的偶函数,当x≥0时,f(x)=x2–2x+2.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)当x∈[m,n]时,f(x)的取值范围为[2m,2n],试求实数m,n的值.
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【题目】如图,四边形为梯形,平面,,
为中点.
(1)求证:平面平面;
(2)线段上是否存在一点,使平面?若存在,找出具体位置,并进行证明:若不存在,请分析说明理由.
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【题目】已知曲线C的极坐标方程是ρ=2,以极点为原点,极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系,直线l的参数方程为(t为参数).
(1)写出直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程;
(2)设曲线C经过伸缩变换得到曲线,设M(x,y)为上任意一点,求的最小值,并求相应的点M的坐标.
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【题目】已知直线是抛物线的准线,直线,且与抛物线没有公共点,动点在抛物线上,点到直线和的距离之和的最小值等于2.
(Ⅰ)求抛物线的方程;
(Ⅱ)点在直线上运动,过点做抛物线的两条切线,切点分别为,在平面内是否存在定点,使得恒成立?若存在,请求出定点的坐标,若不存在,请说明理由.
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【题目】如图是某市年月日至日的空气质量指数趋势图,某人随机选择年月日至月日中的某一天到达该市,并停留天.
(1)求此人到达当日空气质量指数大于的概率;
(2)设是此人停留期间空气质量指数小于的天数,求的分布列与数学期望;
(3)由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大?(结论不要求证明)
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【题目】如图,正方体ABCD-A′B′C′D′的棱长为a,连接A′C′,A′D,A′B,BD,BC′,C′D,得到一个三棱锥.求:
(1)三棱锥A′-BC′D的表面积与正方体表面积的比值;
(2)三棱锥A′-BC′D的体积.
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【题目】已知函数的图象过点.
(1)求的值并求函数的值域;
(2)若关于的方程有实根,求实数的取值范围;
(3)若函数,则是否存在实数,使得函数的最大值为?若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.
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