Question

如图，在四棱锥中，底面是正方形，其他四个侧面都是等边三角形，与的交点为，为侧棱上一点.

（Ⅰ）当为侧棱的中点时，求证：∥平面；
（Ⅱ）求证：平面平面；
（Ⅲ）（理科）当二面角的大小为时，试判断点在上的位置，并说明理由.

Answer 1

（文答案）证明：（Ⅰ）连接，由条件可得∥.
因为平面，平面，

所以∥平面.       ----------------------（6分）
（Ⅱ）证明：由已知可得，,是中点，
所以，
又因为四边形是正方形，所以.
因为，所以.
又因为，所以平面平面.   --------（12分）
（理答案）（Ⅰ）证明：连接，由条件可得∥.

因为平面，平面，
所以∥平面.          ----------------------（4分）
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知，.
建立如图所示的空间直角坐标系.
设四棱锥的底面边长为2，
则，，，
，，
.
所以，.
设（），由已知可求得.
所以，.
设平面法向量为，
则即  
令，得. 
易知是平面的法向量.
因为，
所以，所以平面平面.     -----------（8分）
（Ⅲ）解：设（），由（Ⅱ）可知，
平面法向量为.
因为，
所以是平面的一个法向量.
由已知二面角的大小为.
所以，
所以，解得.
所以点是的中点.     ---------（12分）  

略