Question

已知函数f(x)=

1

3

x3+

1

2

(a+2)x2+ax，x∈R，a∈R．
（Ⅰ）若f′（0）=-2，求函数f（x）的极值；
（Ⅱ）若函数f（x）在（1，2）上单调递增，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先对函数f（x）求导，再令x=0，即可求出a的值；
（Ⅱ）函数f（x）在（1，2）上单调递增?f^′（x）≥0在x∈（1，2）上恒成立?a≥-

x2+2x

x+1

在区间（1，2）上恒成立?a≥[-

x2+2x

x+1

]最大值，x∈（1，2），解出即可．

解答：解：（Ⅰ）∵f(x)=

1

3

x3+

1

2

(a+2)x2+ax，∴f^′（x）=x²+（a+2）x+a．
∵f^′（0）=-2，∴a=-2．
∴f(x)=

1

3

x3-2x，f^′（x）=x²-2．
令f^′（x）=0，解得x=±

2

．
列表如下：
由表格可以看出：当x=-

2

时，f（x）_极大值=f(-

2

)=

4

3

2

；
当x=

2

时，f（x）_极小值=f(

2

)=-

4

3

2

．
（Ⅱ）∵函数f（x）在（1，2）上单调递增，
∴f^′（x）=x²+（a+2）x+a≥0在区间（1，2）上恒成立．
亦即a≥-

x2+2x

x+1

在区间（1，2）上恒成立．
令g（x）=-

x2+2x

x+1

，则g^′（x）=-

x2+2x+2

(x+1)2

=-

(x+1)2+1

(x+1)2

＜0，
∴函数g（x）在x∈（1，2）上为减函数，而函数g（x）在x=1时连续，
∴g（x）＜g（1）=-

3

2

．
故a≥-

3

2

．

点评：利用导数求函数的单调区间、极值、恒成立问题是最有效的方法之一，必须熟练掌握．