Question

已知双曲线C_1：x²-y²=m（m＞0）与椭圆C2：

x2

a2

+

y2

b2

=1有公共焦点F₁F₂，点N(

2

，1)是它们的一个公共点．
（1）求C₁，C₂的方程；
（2）过点F₂且互相垂直的直线l₁，l₂与圆M：x²+（y+1）²=4分别相交于点A，B和C，D，求|AB|+|CD|的最大值，并求此时直线l₁的方程．

Answer 1

分析：（1）把点N(

2

，1)代入双曲线C₁：x²-y²=m（m＞0），求得m的值，求得椭圆的焦点，把点N(

2

，1)代入椭圆C2：

x2

a2

+

y2

b2

=1，解方程组即可求得C₁，C₂的方程；
（2）根据直线l₁，l₂与圆相交，由垂径定理可得四边形MEF₂F是矩形（其中M是圆的圆心），设圆M的圆心为M，l₁、l₂被圆M所截得弦的中点分别为E，F，弦长分别为d₁，d₂，利用勾股定理可得ME²+MF²=F₂M²=3，利用基本不等式即可求得|AB|+|CD|的最大值，和此时直线l₁的方程．

解答：解：（1）点N（

2

，1）是双曲线C₁：x²-y²=m（m＞0）上的点，∴m=（

2

）²-1=1．
∴双曲线C₁：x²-y²=1，从而F₁（-

2

，0），F₂（

2

，0），∴a²＞b²，且a²-b²=2．①
又点N（

2

，1）在椭圆上，则

2

a2

+

1

b2

=1②
由①②得a²=4，b²=2，所以椭圆的方程为

x2

4

+

y2

2

=1．
（2）设圆M的圆心为M，l₁、l₂被圆M所截得弦的中点分别为E，F，弦长分别为d₁，d₂，因为四边形MEF₂F是矩形，
所以ME²+MF²=F₂M²=3，即[4-（

d1

2

）²]+[4-（

d2

2

）²]=3，
化简得d₁²+d₂²=20
从而d₁+d₂≤

2

•

d 2 1 + d 2 2

=2

10

，等号成立?d₁=d₂=

10

，
d₁=d₂=

10

时，∴（d₁+d₂）_max=2

10

，
即l₁、l₂被圆C所截得弦长之和的最大值为2

10

．
设直线l₁的方程为y=k（x-

2

）
圆心M到直线l_1为的距离

3 2

，
∴

| 2 k-1|

1+k2

=

3 2

，解得k=4

2

±

33

，
∴直线l₁的方程为y=4

2

±

33

（x-

2

）．

点评：此题是个难题．本题考查了椭圆的定义、离心率、椭圆与双曲线的标准方程及简单的几何性质、直线与圆的位置关系，是一道综合性的试题，考查了学生综合运用知识解决问题的能力．