Question

在三棱锥P-ABC中，三条侧棱PA，PB，PC两两垂直，H是△ABC的垂心
求证：（1）PH⊥底面ABC　 （2）△ABC是锐角三角形．

Answer 1

证明：（1）连接AH并延长交BC于一点E，连接PH，由于PA，PB，PC两两垂直可以得到PA⊥面PBC，而BC?面PBC，∴BC⊥PA，又H是三角形ABC的垂心，故AE⊥BC，又AE∩PA=A，∴BC⊥面PAE，而PH?面PAE，∴PH⊥BC，同理可以证明PH⊥AC，又AC∩BC=C，∴PH⊥底面ABC．
（2）设PA=a；PB=b；PC=c，则AB²=a²+b²，同理BC²=c²+b²，Ac²=a²+c²，在三角形ABC中，由余弦定理得：，同理可证cosB＞0，cosC＞0，所以，）△ABC是锐角三角形．
分析：对于问题（1），由三条侧棱PA，PB，PC两两垂直可以得到PA⊥面PBC，进而得到PA⊥BC，由H是△ABC的垂心，得到BC⊥AE，从而得到PH⊥BC，同理可证PH⊥AC，从而得到证明；对于问题（2）可以通过余弦定理解决．
点评：本题考查直线与平面垂直的证明法：利用判定定理证明；以及解三角形的有关理论，第二问在立体几何中考查平面几何问题，要注意在空间的某个平面内，平面几何的有关定理、公式等结论仍然成立．