Question

【题目】定义：在数列{an}中，若an2﹣an﹣12=p，（n≥2，n∈N* ， p为常数），则称{an}为“等方差数列”，下列是对“等方差数列”的有关判断：
①若{an}是“等方差数列”，则数列{ }是等差数列；
②{（﹣2）n}是“等方差数列”；
③若{an}是“等方差数列”，则数列{akn}（k∈N* ， k为常数）也是“等方差数列”；
④若{an}既是“等方差数列”，又是等差数列，则该数列是常数数列．
其中正确命题的个数为（ ）
A.1
B.2
C.3
D.4

Answer 1

【答案】B
【解析】解：根据题意，依次分析四个判断：①、若{an}是“等方差数列”，假设an= ，则 = ，不是等差数列，则①错误；②：对数列{（﹣2）n}有an2﹣an﹣12=[（﹣2）n]2﹣[（﹣2）n﹣1]2=4n﹣4n﹣1不是常数，所以②错误③：对数列{akn}有akn2﹣ak（n﹣1）2=（akn2﹣akn﹣12）+（akn﹣12﹣akn﹣22）+…+（akn﹣k+12﹣akn﹣k2）=kp，而k，p均为常数，所以数列{akn}也是“等方差数列”，所以③正确④：设数列{an}首项a1，公差为d则有a2=a1+d，a3=a1+2d，所以有（a1+d）2﹣a12=p，且（a1+2d）2﹣（a1+d）2=p，所以得d2+2a1d=p，3d2+2a1d=p，上两式相减得d=0，所以此数列为常数数列，所以④正确．

有2个正确；

所以答案是：B．

【考点精析】通过灵活运用数列的通项公式，掌握如果数列an的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式即可以解答此题．