Question

15．下列不等式中恒成立的是（　　）

• A． $2-x-\frac{4}{x}$≤-2
• B． $sinx+\frac{1}{sinx}$≥2
• C． $\frac{{{x^2}+5}}{{\sqrt{{x^2}+4}}}$≥2
• D． $\frac{{{x^2}+2}}{{\sqrt{{x^2}+2}}}$≥$\sqrt{2}$

Answer 1

分析 由基本不等式求最值的规律，逐个选项验证可得．

解答 解：选项A，若x为负值，则2-x-$\frac{4}{x}$≥2+2$\sqrt{（-x）（-\frac{4}{x}）}$=6，显然2-x-$\frac{4}{x}$≤-2错误；
选项B，只有当sinx=1时才正确，故不是恒成立，错误；
选项C，$\frac{{x}^{2}+5}{\sqrt{{x}^{2}+4}}$=$\frac{{x}^{2}+4+1}{\sqrt{{x}^{2}+4}}$=$\sqrt{{x}^{2}+4}$+$\frac{1}{\sqrt{{x}^{2}+4}}$≥2，但$\sqrt{{x}^{2}+4}$=$\frac{1}{\sqrt{{x}^{2}+4}}$时x无解，故错误；
选项D，$\frac{{x}^{2}+2}{\sqrt{{x}^{2}+2}}$=$\sqrt{{x}^{2}+2}$≥$\sqrt{2}$恒成立，正确．
故选：D

点评 本题考查基本不等式，涉及基本不等式成立的条件，属基础题．