Question

10．过抛物线y²=4x的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，且|AF|=2|BF|，则直线AB的斜率为（　　）

• A． $2\sqrt{2}$
• B． $2\sqrt{3}$
• C． $2\sqrt{2}$或$-2\sqrt{2}$
• D． $2\sqrt{3}或-2\sqrt{3}$

Answer 1

分析 当点A在第一象限，通过抛物线定义及|AF|=2|BF|可知B为CE中点，通过勾股定理可知|AC=2$\sqrt{2}$|BC|，进而计算可得结论．

解答 解：如图，点A在第一象限．
过A、B分别向抛物线的准线作垂线，垂足分别为D、E，
过A作EB的垂线，垂足为C，则四边形ADEC为矩形．
由抛物线定义可知|AD|=|AF|，|BE|=|BF|，
又∵|AF|=2|BF|，
∴|AD|=|CE|=2|BE|，即B为CE中点，
∴|AB|=3|BC|，
在Rt△ABC中，|AC|=2$\sqrt{2}$|BC|，
∴直线l的斜率为$\frac{AC}{BC}$=2$\sqrt{2}$；
当点B在第一象限时，同理可知直线l的斜率为-2$\sqrt{2}$，
∴直线l的斜率为±2$\sqrt{2}$，
故选：C．

点评 本题考查抛物线的简单性质，注意解题方法的积累，属于中档题．