Question

6．“a=1”是“函数f（x）=$\frac{1}{x+1}$+$\frac{1}{x-a}$为奇函数”的充要条件．

Answer 1

分析 若函数f（x）=$\frac{1}{x+1}$+$\frac{1}{x-a}$为奇函数，则f（-x）+f（x）=0，解得a，进而判断出答案．

解答 解：若函数f（x）=$\frac{1}{x+1}$+$\frac{1}{x-a}$为奇函数，则f（-x）+f（x）=$\frac{1}{x+1}$+$\frac{1}{x-a}$+$\frac{1}{-x+1}$+$\frac{1}{-x-a}$=0，化为：（a-1）x²-（a-a²）=0，
可得$\left\{\begin{array}{l}{a-1=0}\\{a-{a}^{2}=0}\end{array}\right.$，解得a=1．
此时f（x）=$\frac{2x}{{x}^{2}-1}$（x≠±1）是奇函数．
反之也成立，
因此“a=1”是“函数f（x）=$\frac{1}{x+1}$+$\frac{1}{x-a}$为奇函数”的充要条件．
故答案为：充要．

点评 本题考查了函数的奇偶性、充要条件的判定，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．