Question

齐王与田忌赛马，田忌的上马优于齐王的中马，劣于齐王的上马，田忌的中马优于齐王的下马，劣于齐王的中马，田忌的下马劣于齐王的下马，现各出上、中、下三匹马分组进行比赛．
(1) 如果双方均不知道对方马的出场顺序，求田忌获胜的概率；
(2) 为了得到更大的获胜概率，田忌预先了解到齐王第一场必出上等马．那么，田忌怎样安排出马顺序，才能使自己获胜的概率最大？

Answer 1

(1)  (2)

记齐王的三匹马分别为A、B、C，记田忌的三匹马分别为a、b、c.若A与a比赛，记为Aa，其他同理．(1) 齐王与田忌赛马，有如下六种情况：Aa，Bb，Cc；Aa，Bc，Cb；Ab，Bc，Ca；Ab，Ba，Cc；Ac，Ba，Cb；Ac，Bb，Ca.其中田忌获胜的只有一种：Ac，Ba，Cb.∴ 田忌获胜的概率为.
(2) 已知齐王第一场必出上等马A，若田忌第一场必出上等马a或中等马b，则剩下二场，田忌至少输一场，这时田忌必败．于是田忌第一场得出下等马c.
① 若齐王第二场必出中等马B，可能的对阵为：Ba，Cb或Bb，Ca.
② 若齐王第二场必出下等马C，可能的对阵为：Ca，Bb或Cb，Ba.
其中田忌获胜的有两种：Ba，Cb或Cb，Ba.所以田忌获胜的概率为.∴ 田忌第一场出下等马，才能使自己获胜的概率达最大.