Question

已知函数f（x）=ax³+bx²+cx+d（a≠0）的对称中心为M（x₀，f（x₀）），记函数f（x）的导函数为f′（x），f′（x）的导函数为f″（x），则有f″（x₀）=0．若函数f（x）=x³-3x²，则
①f（x）的对称中心是

 

②：f(

1

2012

)+f(

2

2012

)+…+f(

4022

2012

)+f(

4023

2012

)=

 

．

Answer 1

分析：由题意对已知函数求两次导数可得图象关于点（1，-2）对称，即f（x）+f（2-x）=-4，而要求的式子可用倒序相加法求解，共有2011对-4和一个f（1）=-2，可得答案．

解答：解：①由题意f（x）=x³-3x²，
则f′（x）=3x²-6x，
f″（x）=6x-6，
由f″（x₀）=0得6x₀-6=1
解得x₀=1，而f（1）=-2，
故函数f（x）=x³-3x²关于点（1，-2）对称，
②∵函数f（x）=x³-3x²关于点（1，-2）对称，
∴f（x）+f（2-x）=-4，
故f(

1

2012

)+f(

2

2012

)+…+f(

4022

2012

)+f(

4023

2012

)=-4×2011+（-2）=-8046．
故答案为：①（1，-2），②-8046

点评：本题主要考查导数的基本运算，利用条件求出函数的对称中心是解决本题的关键．