Question

（2012•石景山区一模）若数列{A_n}满足An+1=An2，则称数列{A_n}为“平方递推数列”．已知数列{a_n}中，a₁=2，点（a_n，a_n+1）在函数f（x）=2x²+2x的图象上，其中n为正整数．
（Ⅰ）证明数列{2a_n+1}是“平方递推数列”，且数列{lg（2a_n+1）}为等比数列；
（Ⅱ）设（1）中“平方递推数列”的前n项之积为T_n，即T_n=（2a₁+1）（2a₂+1）…（2a_n+1），求数列{a_n}的通项及T_n关于n的表达式；
（Ⅲ）记bn=log2an+1Tn，求数列{b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析：（I）利用点（a_n，a_n+1）在函数f（x）=2x²+2x的图象，结合新定义，可得数列{2a_n+1}是“平方递推数列”，两边取对数，即可证得数列{lg（2a_n+1）}为首项是lg5公比为2的等比数列；
（II）由题意，lg(2an+1)=[lg(2a1+1)]×2n-1=2n-1lg5=lg52n-1，从而可得数列{a_n}的通项，进而先求对数的和，即可求得结论；
（III）确定数列{b_n}的通项，利用等比数列的求和公式可结论．

解答：（I）证明：因为an+1=2an2+2an，2an+1+1=2(2an2+2an)+1=(2an+1)2
所以数列{2a_n+1}是“平方递推数列”．--------（2分）
由以上结论lg(2an+1+1)=lg(2an+1)2=2lg(2an+1)，
所以数列{lg（2a_n+1）}为首项是lg5公比为2的等比数列．--------（4分）
（II）解：由题意，lg(2an+1)=[lg(2a1+1)]×2n-1=2n-1lg5=lg52n-1，
∴2an+1=52n-1，an=

1

2

(52n-1-1)．--------（6分）
∴lgTn=lg(2a1+1)+…+lg(2an+1)=(2n-1)lg5，
∴Tn=52n-1．--------（9分）
（III）解：bn=

lgTn

lg(2an+1)

=

(2n-1)lg5

2n-1lg5

=2-

1

2n-1

，
∴数列{b_n}的前n项和Sn=2n-2+

1

2n-1

．--------（13分）
[注：若有其它解法，请酌情给分]

点评：本题考查新定义，考查数列的通项与求和，解题的关键是正确理解新定义，属于中档题．