Question

设函数f（x）=ax²+bx+c（a，b，c∈R），f（1）=-

a

2

，
（1）若f（x）＜1的解集为（0，3），求f（x）的表达式；
（2）若a＞0，求证：函数f（x）在区间（0，2）内至少有一个零点．

Answer 1

考点：函数零点的判定定理

专题：函数的性质及应用

分析：（1）根据不等式的解集与方程的根的 关系求解可得．（2）分类讨论①当c=0时f（2）=4a+2b=a＞0，即f（1）f（2）＜0，
②当c＞0时f（0）•f（1）＜0，③当c＜0时，f（2）=4a+2b+c=a-c，＞0，f（1）•f（2）＜0，结合根的存在性定理判断．

解答： 解：f（1）=a+b+c=-

a

2

，
即b+c=-

3a

2

，
（1）由f（x）＜1的解集为（0，3），
∴-

b

a

=3，

c-1

a

=0，
即a=

2

3

，b=-2，c=1，
∴f（x）=

2

3

x²-2x+1，
（2）f（x）=ax²+bx+c（a，b，c∈R），
∵a＞0，∴f（1）=-

a

2

＜0，f（0）=c，b+c=-

3a

2

，
①当c=0时f（2）=4a+2b=a＞0，即f（1）f（2）＜0，
②当c＞0时f（0）•f（1）＜0，
③当c＜0时，f（2）=4a+2b+c=a-c，＞0，f（1）•f（2）＜0，
根据根的存在性定理，结合①②③可得：函数f（x）在区间（0，2）内至少有一个零点．

点评：本题考查了不等式，与函数的关系，分类讨论求解函数零点问题，属于中档题．