【题目】如图已知椭圆,是长轴的一个端点,弦过椭圆的中心,且,.
(Ⅰ)求椭圆的方程:
(Ⅱ)设为椭圆上异于且不重合的两点,且的平分线总是垂直于轴,是否存在实数,使得,若存在,请求出的最大值,若不存在,请说明理由.
【答案】(Ⅰ)(Ⅱ)
【解析】
(Ⅰ)易知根据条件确定形状,即得C坐标,代入椭圆方程可得,(Ⅱ)即先判断是否成立,设的直线方程,与椭圆联立方程组解得坐标,根据、关系可得坐标,利用斜率坐标公式即得斜率,进而判断成立,然后根据两点间距离公式计算长度最大值,即可得的最大值.
(Ⅰ)∵, ∴
又,即,2
∴是等腰直角三角形
∵, ∴
因为点在椭圆上,∴∴
∴所求椭圆方程为
(Ⅱ)对于椭圆上两点、,∵的平分线总是垂直于轴
∴与所在直线关于对称,设且,则,
则的直线方程 ①
的直线方 ②
将①代入得 ③
∵在椭圆上,∴是方程③的一个根,∴
以替换,得到.
因为,所以span>∴ ∴,∴存在实数,使得
当时即时取等号,
又,
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【题目】2019年全国“两会”,即中华人民共和国第十三届全国人大二次会议和中国人民政治协商会议第十三届全国委员会第二次会议,分别于2019年3月5日和3月3日在北京召开.为了了解哪些人更关注“两会”,某机构随机抽取了年龄在15~75岁之间的200人进行调查,并按年龄绘制的频率分布直方图如下图所示,把年龄落在区间[15,35)和[35,75]内的人分别称为“青少年人”和“中老年人”.经统计“青少年人”和“中老年人”的人数之比为19:21.其中“青少年人”中有40人关注“两会”,“中老年人”中关注“两会”和不关注“两会”的人数之比是2:1.
(Ⅰ)求图中的值;
(Ⅱ)现采用分层抽样在[25,35)和[45,55)中随机抽取8名代表,从8人中任选2人,求2人中至少有1个是“中老年人”的概率是多少?
(Ⅲ)根据已知条件,完成下面的2×2列联表,并根据此统计结果判断:能否有99.9%的把握认为“中老年人”比“青少年人”更加关注“两会”?
关注 | 不关注 | 合计 | |
青少年人 | |||
中老年人 | |||
合计 |
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【题目】已知圆C过定点,且与直线相切,圆心C的轨迹为E,曲线E与直线l:()相交于A,B两点.
(1)求曲线E的方程;
(2)当的面积等于时,求k的值.
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【题目】已知椭圆:的长轴长为4,左、右顶点分别为,经过点的动直线与椭圆相交于不同的两点(不与点重合).
(1)求椭圆的方程及离心率;
(2)求四边形面积的最大值;
(3)若直线与直线相交于点,判断点是否位于一条定直线上?若是,写出该直线的方程. (结论不要求证明)
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【题目】已知圆的圆心在射线上,截直线所得的弦长为6,且与直线相切.
(1)求圆的方程;
(2)已知点,在直线上是否存在点(异于点),使得对圆上的任一点,都有为定值?若存在,请求出点的坐标及的值;若不存在,请说明理由.
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【题目】如图,在正方体ABCD-ABCD中,平面垂直于对角线AC,且平面截得正方体的六个表面得到截面六边形,记此截面六边形的面积为S,周长为l,则( )
A. S为定值,l不为定值 B. S不为定值,l为定值
C. S与l均为定值 D. S与l均不为定值
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【题目】如图所示,ABCD-A1B1C1D1是长方体,O是B1D1的中点,直线A1C交平面AB1D1于点M,则下列结论正确是( )
A.A,M,O三点共线B.A,M,O,A1不共面
C.A,M,C,O不共面D.B,B1,O,M共面
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