Question

【题目】已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f(x)满足＝f(x1)－f(x2)，且当x>1时，f(x)<0.

(1)证明：f(x)为单调递减函数．

(2)若f(3)＝－1，求f(x)在[2,9]上的最小值．

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）-2

【解析】

（1）任取任取x1，x2∈(0，＋∞)，且x1>x2，进而可得>1，接下来结合已知即可确定与的大小关系，从而证得结果；

（2）由（1）的结论可知的最小值是，接下来结合已知可得，据此即可求得的值，得到结果.

解：(1)证明：任取x1，x2∈(0，＋∞)，且x1>x2，

则>1，由于当x>1时，f(x)<0，

所以f<0，即f(x1)－f(x2)<0，

因此f(x1)<f(x2)，

所以函数f(x)在区间(0，＋∞)上是单调递减函数．

(2)因为f(x)在(0，＋∞)上是单调递减函数，

所以f(x)在[2,9]上的最小值为f(9)．

由f＝f(x1)－f(x2)得，

f＝f(9)－f(3)，而f(3)＝－1，

所以f(9)＝－2.

所以f(x)在[2,9]上的最小值为－2.