Question

11．已知sinα=$\frac{3}{5}$，且α∈（$\frac{π}{2}$，π）．
（1）求tan（α+$\frac{π}{4}$）的值；
（2）若β∈（0，$\frac{π}{2}$），且cos（α-β）=$\frac{1}{3}$，求cosβ的值．

Answer 1

分析 （1）利用同角三角函数基本关系式可求cosα，tanα的值，进而利用两角和的正切函数公式即可化简求值．
（2）由已知可求范围α-β∈（0，π），利用同角三角函数基本关系式可求sin（α-β）的值，由β=α-（α-β），利用两角差的余弦函数公式即可计算得解．

解答 （本题满分为12分）
解：（1）∵sinα=$\frac{3}{5}$，且α∈（$\frac{π}{2}$，π），
∴cosα=$-\frac{4}{5}$，…（2分）
∴tanα=$\frac{sinα}{cosα}$=-$\frac{3}{4}$，…（4分）
∴tan（α+$\frac{π}{4}$）=$\frac{tanα+1}{1-tanα}$=$\frac{1}{7}$．…（6分）
（2）∵α∈（$\frac{π}{2}$，π），β∈（0，$\frac{π}{2}$），
∴α-β∈（0，π），…（7分）
又∵cos（α-β）=$\frac{1}{3}$，
∴sin（α-β）=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，…（9分）
∴cosβ=cos[α-（α-β）]=cosαcos（α-β）+sinαsin（α-β） …（11分）
=（-$\frac{4}{5}$）×$\frac{1}{3}$+$\frac{3}{5}$×$\frac{2\sqrt{2}}{3}$=$\frac{6\sqrt{2}-4}{15}$．…（12分）

点评 本题主要考查了同角三角函数基本关系式，两角和的正切函数公式，两角差的余弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．