Question

已知a＞1，设p：a（x-2）+1＞0，q：（x-1）²＞a（x-2）+1．试寻求使得p、q都成立的x的集合．

Answer 1

分析：先设A={x|a（x-2）+1＞0}，B={x|（x-1）²＞a（x-2）+1}，依题意，求使得p、q都成立的x的集合即是求集合A∩B，
原不等关系转化成

x＞2- 1 a (x-a)(x-2)＞0

，下面对a进行分类讨论：当1＜a＜2时，当a=2时，当a＞2，从而通过解不等式组求得使得p、q都成立的x的集合．

解答：解：设A={x|a（x-2）+1＞0}，B={x|（x-1）²＞a（x-2）+1}，
依题意，求使得p、q都成立的x的集合即是求集合A∩B，
∵

a(x-2)+1＞0 (x-1)2＞a(x-2)+1

⇒

x＞2- 1 a x2-(2+a)x+2a＞0

⇒

x＞2- 1 a (x-a)(x-2)＞0

---（4分）
∴若1＜a＜2时，则有

x＞2- 1 a x＞2或x＜a

，而a-(2-

1

a

)=a+

1

a

-2＞0，
所以a＞2-

1

a

，
即当1＜a＜2时使p、q都成立的x∈{x|x＞2或2-

1

a

＜x＜a}；----（6分）
当a=2时易得使p、q都成立的x∈{x|x＞

3

2

，且x≠2}；----（8分）
若a＞2，则有

x＞2- 1 a x＞a或x＜2

，----（10分）
此时使得P、Q都成立的x∈{x|x＞a或2-

1

a

＜x＜2}．----（12分）．

点评：本小题主要考查交集及其运算、一元二次不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，考查转化思想．属于基础题．