【题目】如图,在四棱锥中,平面
平面
,在
中,
,
为
的中点,四边形
是等腰梯形,
,
.
(Ⅰ)求异面直线与
所成角的正弦值;
(Ⅱ)求证:平面平面
;
(Ⅲ)求直线与平面
所成角的正切值.
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)证明见解析;(Ⅲ)
.
【解析】
(Ⅰ)因为//
,则
即为所求,解三角形即可容易求得;
(Ⅱ)先证平面
,即可求线面垂直推证面面垂直;
(Ⅲ)由(Ⅱ)中所证,即可知即为所求,再解三角形即可求得结果.
(Ⅰ)因为四边形是等腰梯形,故可得
//
,
故即为所求夹角或其补角,
在中,因为
,且
为底边
中点,
故可得,又因为
,
故可得,
则.
故异面直线与
所成角的正弦值为
.
(Ⅱ)因为平面平面
,且交线为
,
又因为平面
,则
平面
,
又因为平面
,故可得
;
又在四边形中:过
作
,垂足为
,
因为,
故容易得,
则
满足,则
;
又因为平面
,且
,
故可得平面
,又因为
平面
,
故平面平面
,即证.
(Ⅲ)由(Ⅱ)可得平面
,
则即为所求线面角.
在中,因为
,
故可得.
故直线与平面
所成角的正切值为
.
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【题目】已知定义域在上的函数
满足对于任意的
,都有
,当且仅当
时,
成立.
(1)设,求证
;
(2)设,若
,试比较x1与x2的大小;
(3)若,解关于x的不等式
.
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【题目】红外线治疗仪的治疗作用是在红外线照射下,组织温度升高,毛细血管扩张,血流加快,物质代谢增强,组织细胞活力及再生能力提高,对我们身体某些疾病的治疗有着很大的贡献,某药店兼营某种红外线治疗仪,经过近个月的营销,对销售状况进行相关数据分析,发现月销售量与销售价格有关,其统计数据如下表:
每台红外线治疗仪的销售价格: | |||||
红外线治疗仪的月销售量: |
(1)根据表中数据求关于
的线性回归方程;
(2)①每台红外线治疗仪的价格为元时,预测红外线治疗仪的月销售量;(四舍五入为整数)
②若该红外线治疗仪的成本为元/台,药店为使每月获得最大的纯收益,利用(1)中结论,问每台该种红外线治疗仪的销售价格应定为多少元?(四舍五入,精确到
元).
参考公式:回归直线方程,
,
.
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【题目】十九大以来,国家深入推进精准脱贫,加大资金投入,强化社会帮扶,为了更好的服务于人民,派调查组到某农村去考察和指导工作.该地区有200户农民,且都从事水果种植,据了解,平均每户的年收入为3万元.为了调整产业结构,调查组和当地政府决定动员部分农民从事水果加工,据估计,若能动员户农民从事水果加工,则剩下的继续从事水果种植的农民平均每户的年收入有望提高
,而从事水果加工的农民平均每户收入将为
万元.
(1)若动员户农民从事水果加工后,要使从事水果种植的农民的总年收入不低于动员前从事水果种植的农民的总年收入,求
的取值范围;
(2)在(1)的条件下,要使这200户农民中从事水果加工的农民的总收入始终不高于从事水果种植的农民的总收入,求的最大值.
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【题目】已知函数,
(其中
,
,
)的图象与
轴的交点中,相邻两个交点之间的距离为
,且图象上一个最高点为
.
(1)求的解析式;
(2)先把函数的图象向左平移
个单位长度,然后再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),得到函数
的图象,试写出函数
的解析式.
(3)在(2)的条件下,若存在,使得不等式
成立,求实数
的最小值.
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【题目】甲乙两人同时参加一次数学测试,共有20道选择题,每题均有4个选项,答对得3分,答错或不答得0分,甲和乙都解答了所有的试题,经比较,他们只有2道题的选项不同,如果甲最终的得分为54分,那么乙的所有可能的得分值组成的集合为________.
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【题目】已知定义在R上奇函数f(x)在时的图象是如图所示的抛物线的一部分.
(1)请补全函数f(x)的图象;
(2)写出函数f(x)的表达式;
(3)讨论方程|f(x)|=a的解的个数.
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【题目】A袋中有1个红球和1个黑球,B袋中有2个红球和1个黑球,A袋中任取1个球与B袋中任取1个球互换,这样的互换进行了一次,求:
(1)A袋中红球恰是1个的概率;
(2)A袋中红球至少是1个的概率.
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【题目】光伏发电是将光能直接转变为电能的一种技术,具有资源的充足性及潜在的经济性等优点,在长期的能源战略中具有重要地位,2015年起,国家能源局、国务院扶贫办联合在6省的30个县开展光伏扶贫试点,在某县居民中随机抽取50户,统计其年用量得到以下统计表.以样本的频率作为概率.
用电量(单位:度) | |||||
户数 | 7 | 8 | 15 | 13 | 7 |
(Ⅰ)在该县居民中随机抽取10户,记其中年用电量不超过600度的户数为,求
的数学期望;
(Ⅱ)在总结试点经验的基础上,将村级光伏电站稳定为光伏扶贫的主推方式.已知该县某自然村有居民300户.若计划在该村安装总装机容量为300千瓦的光伏发电机组,该机组所发电量除保证该村正常用电外,剩余电量国家电网以0.8元/度的价格进行收购.经测算每千瓦装机容量的发电机组年平均发电1000度,试估计该机组每年所发电量除保证正常用电外还能为该村创造直接受益多少元?
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