Question

【题目】如图所示，在直三棱柱中，，，其中为棱上的中点，为棱上且位于点上方的动点.

（1）证明：平面；

（2）若平面与平面所成的锐二面角的余弦值为，求直线与平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）见证明；（2）

【解析】

（1）推导出tan∠BB1C==，tan∠PBC==，从而∠BB1C=∠PBC，PB⊥B1C，推导出BB1⊥A1B1，A1B1⊥B1C1，从而A1B1⊥平面BCC1B1，A1B1⊥BP，由此能证明BP⊥平面A1B1C．
（2）以BC，BA，BB1为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线BQ与平面A1B1C所成角的正弦值．

（1）证明：在侧面中，因为，，为棱上的中点，

所以，，

所以，所以，

在直三棱柱中，平面，

所以，

因为，，所以，

所以，

因为，所以平面，

所以，因为，所以平面；

（2）解：如图，以，，为轴建立空间直角坐标系，

则，为平面的一个法向量.

设，则，，

设平面的法向量为，则，，

所以，

因为平面与平面所成的锐二面角的余弦值为，

所以，所以，解得，或，

由已知得，，所以，所以，

所以直线与平面所成角的正弦值为.