Question

【题目】解答题
（1）求函数y=2|x﹣1|﹣|x﹣4|的值域；
（2）若不等式2|x﹣1|﹣|x﹣a|≥﹣1在x∈R上恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵y=2|x﹣1|﹣|x﹣4|= = ，

故函数的值域是[﹣3，+∞）

（2）解：f（x）=2|x﹣1|﹣|x﹣a|，

①a≥1时，f（x）= = ，

而2a﹣2＞1﹣a，

此时f（x）的最小值是1﹣a，故只需1﹣a≥﹣1，

∴1≤a≤2；

②a＜1时，f（x）= = ，

此时a＜1时，﹣1+a＜2﹣2a，f（x）的最小值是a﹣1，

只需a﹣1≥﹣1，0≤a＜1，

综上，a的范围是[0，2]

【解析】（1）通过讨论x的范围求出函数f（x）的分段函数的形式，从而求出f（x）的值域即可；（2）通过讨论a的范围，求出函数f（x）的分段函数的形式，求出f（x）的最小值，得到关于a的不等式，解出即可．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用绝对值不等式的解法的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握含绝对值不等式的解法：定义法、平方法、同解变形法，其同解定理有；规律：关键是去掉绝对值的符号．