Question

12．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，PD⊥底面ABCD，PD=1，PB=PC=BC=$\sqrt{2}$，点E，F分别是PA，BC的中点．
（Ⅰ）证明：EF∥平面PCD；
（Ⅱ）证明：PB⊥CD；
（Ⅲ）求二面角A-PB-C的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）取AD中点O，连结EO、FO，推导出OE∥PD，FO∥CD，从而平面EOF∥平面PDC，由此能证明EF∥平面PCD．
（Ⅱ）推导出PD⊥CD，PB⊥BD，且BD=CD=1，从而BD⊥CD，进而CD⊥平面PBD，由此能证明PB⊥PD．
（Ⅲ）以D为原点，DB为x轴，DC为y轴，DP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角A-PB-C的余弦值．

解答 证明：（Ⅰ）取AD中点O，连结EO、FO，
∵点E，F分别是PA，BC的中点，∴OE∥PD，FO∥CD，
∵OE∩FO=O，PD∩CD=D，
OE，FO?平面EOF，PD，CD?平面PDC，
∴平面EOF∥平面PDC，
∵EF?平面EOF，∴EF∥平面PCD．
（Ⅱ）∵在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，PD⊥底面ABCD，PD=1，PB=PC=BC=$\sqrt{2}$，
∴PD⊥CD，PB⊥BD，且BD=CD=$\sqrt{2-1}$=1，
∴BD²+CD²=BC²，∴BD⊥CD，
∵BD∩CD=D，∴CD⊥平面PBD，
∵PB?平面PBD，∴PB⊥PD．
解：（Ⅲ）以D为原点，DB为x轴，DC为y轴，DP为z轴，建立空间直角坐标系，
A（-1，1，0），B（1，0，0），C（0，1，0），P（0，0，1），
$\overrightarrow{PA}$=（-1，1，-1），$\overrightarrow{PB}$=（1，0，-1），$\overrightarrow{PC}$=（0，1，-1），
设平面PAB的法向量$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{PA}=-x+y-z=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{PB}=x-z=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{m}$=（1，2，1），
设平面PBC的法向量$\overrightarrow{n}$=（a，b，c），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PB}=a-c=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PC}=b-c=0}\end{array}\right.$，取a=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，1，1），
cos＜$\overrightarrow{n}，\overrightarrow{m}$＞=$\frac{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{m}}{|\overrightarrow{n}|•|\overrightarrow{m}|}$=$\frac{1+2+1}{\sqrt{6}•\sqrt{3}}$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$．
∴二面角A-PB-C的余弦值为$\frac{2\sqrt{2}}{3}$．

点评 本题考查线面垂直的证明，考查线线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．