Question

（本小题14分）

已知

(Ⅰ)若求的表达式；

（Ⅱ）若函数f (x)和函数g(x)的图象关于原点对称，求函数g(x)的解析式；

（Ⅲ）若在上是增函数，求实数l的取值范围.

 

Answer 1

【答案】

(Ⅰ)  sin²x+2sinx

（Ⅱ）g(x)= -sin²x+2sinx

（Ⅲ）

【解析】本试题主要是考查了三角函数中三角恒等变换，以及三角函数的性质，以及单调性的运用。

（1）因为结合向量，和三角公式得到结论。

（2）设函数y=f (x)的图象上任一点M(x₀,y₀)关于原点的对称点为N（x,y）

则x₀= -x,y₀= -y

∵点M在函数y=f (x)的图象上

,即y= -sin²x+2sinx

利用对称性得到结论。

（3）设sinx=t,(-1≤t≤1)

则有

根据在上是增函数，那么可知函数中参数的取值范围。

解：(Ⅰ)

=2+sinx-cos²x-1+sinx=sin²x+2sinx     ……………4分

（Ⅱ）设函数y=f (x)的图象上任一点M(x₀,y₀)关于原点的对称点为N（x,y）

则x₀= -x,y₀= -y

∵点M在函数y=f (x)的图象上

,即y= -sin²x+2sinx

∴函数g(x)的解析式为g(x)= -sin²x+2sinx    ……………9分

（Ⅲ）设sinx=t,(-1≤t≤1)

则有

①    当时，h(t)=4t+1在[-1,1]上是增函数，∴λ= -1

②    当时，对称轴方程为直线.

ⅰ) 时，，解得

ⅱ)当时，,解得

综上，.                                ……………14分