Question

1．已知等差数列{a_n}的公差d＞0，其前n项和为S_n，若S₃=12，且2a₁，a₂，1+a₃成等比数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）记b_n=$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$（n∈N*），且数列{b_n}的前n项和为T_n，证明：$\frac{1}{4}$≤T_n＜$\frac{1}{3}$．

Answer 1

分析 （1）由等差数列的通项公式和等比数列的性质，解方程可得首项和公差，即可得到所求通项公式；
（2）求得b_n=$\frac{1}{3}$（$\frac{1}{3n-2}$-$\frac{1}{3n+1}$），再由数列的求和方法：裂项相消求和，结合数列的单调性和不等式的性质，即可得证．

解答 解：（1）依题意，得$\left\{\begin{array}{l}2{a_1}（{a_3}+1）=a_2^2\\{a_1}+{a_2}+{a_3}=12\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{a_1}（{a_1}+2d+1）=8\\{a_1}+d=4\end{array}\right.$，得d²+d-12=0．
∵d＞0，∴d=3，a₁=1．
∴数列{a_n}的通项公式a_n=1+3（n-1）=3n-2；
（2）证明：∵${b_n}=\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}=\frac{1}{（3n-2）（3n+1）}=\frac{1}{3}（\frac{1}{3n-2}-\frac{1}{3n+1}）$，
前n项和为T_n=$\frac{1}{3}$（1-$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{4}$-$\frac{1}{7}$+…+$\frac{1}{3n-2}$-$\frac{1}{3n+1}$）
=$\frac{1}{3}$×（1-$\frac{1}{3n+1}$）=$\frac{n}{3n+1}$，
由T_n递增，可得T_n≥T₁=$\frac{1}{4}$，
又T_n＜$\frac{1}{3}$，则$\frac{1}{4}≤{T_n}＜\frac{1}{3}$．

点评 本题考查等差数列的通项公式和等比数列的中项的性质，考查数列的求和方法：裂项相消求和，考查数列的单调性的运用和不等式的性质，属于中档题．