Question

【题目】已知幂函数f（x）=（m2﹣m﹣1）x﹣5m﹣3在（0，+∞）上是增函数，又g（x）=loga （a＞1）．
（1）求函数g（x）的解析式；
（2）当x∈（t，a）时，g（x）的值域为（1，+∞），试求a与t的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵f（x）是幂函数，且在（0，+∞）上是增函数，

∴ 解得m=﹣1，

∴

（2）解：由 ＞0可解得x＜﹣1，或x＞1，

∴g（x）的定义域是（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）．

又a＞1，x∈（t，a），可得t≥1，

设x1，x2∈（1，+∞），且x1＜x2，于是x2﹣x1＞0，x1﹣1＞0，x2﹣1＞0，

∴ ＞0，

∴ ．

由 a＞1，有 ，即g（x）在（1，+∞）上是减函数．

又g（x）的值域是（1，+∞），

∴ 得 ，可化为 ，

解得 ，

∵a＞1，∴ ，

综上，

【解析】（1）利用幂函数的单调性以及性质，列出关系式，求出m，即可求解函数g（x）的解析式；（2）求出g（x）的定义域．结合a＞1，x∈（t，a），可得t≥1，设x1 ， x2∈（1，+∞），判断g（x）在（1，+∞）上是减函数，通过g（x）的值域列出方程 ，即可求解a的值．
【考点精析】认真审题，首先需要了解函数的最值及其几何意义(利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值；利用图象求函数的最大（小）值；利用函数单调性的判断函数的最大（小）值)．