已知函数,(为常数),直线与函数、的图象都相切,且与函数图象的切点的横坐标为.
(1)求直线的方程及的值;
(2)若 [注:是的导函数],求函数的单调递增区间;
(3)当时,试讨论方程的解的个数.
(1) ; ;(2) , ;(3)详见解析.
【解析】
试题分析:(1)利用函数在处的导数,等于在处切线的斜率,所以先求,再求,直线的斜率就是,直线过点,代入得到直线的方程,直线与的图象相切,所以代入联立,得到值;(2)先求, 得到,再求,令,得到的取值范围,即求得函数的单调递增区间;(3)令,,再求,得到极值点,然后列表分析当变化时,,的变化情况,结合为偶函数,画出的函数图形,再画,当直线上下变化时,可以看出交点的变化,根据交点的不同,从而确定,再不同的范围下得到不同的交点个数.此问注意分类讨论思想的使用,不要遗漏情况.属于较难习题.
试题解析:(1)解:由,
故直线的斜率为,切点为,,即,,
所以直线的方程为. 3分
直线与的图象相切,等价于方程组只有一解,
即方程有两个相等实根,
所以令,解得. 5分
(2)因为,
由,
令,所以,
所以函数的单调递增区间是,. 8分
(3)令,,
由,令,得,,, 10分
当变化时,,的变化情况如下表:
, | , | , | , | ||||
+ | - | + | - | ||||
极大值 | 极小值 | 极大值 |
又为偶函数, 所以函数的图象如图:
当,时,方程无解;
当或,时,方程有两解;
当时,方程有三解;
当,时,方程有四解. 14分
考点:1.导数的几何意义;2.利用函数的导数求函数的单调区间;3.利用导数求方程根的个数;4.数形结合.
科目:高中数学 来源: 题型:
(09年江宁中学三月)(16分)已知函数,(为常数).函数定义为:对每个给定的实数,
(1)求对所有实数成立的充分必要条件(用表示);
(2)设是两个实数,满足,且.若,求证:函数在区间上的单调增区间的长度之和为(闭区间的长度定义为)
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科目:高中数学 来源: 题型:
(本小题12分)已知函数(m为常数,m>0)有极大值9.
(1)求m的k*s#5^u值;
(2)若斜率为-5的k*s#5^u直线是曲线的k*s#5^u切线,求此直线方程.
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