分析 设P(x1,y1),Q(x2,y2).由题意可设直线l的方程为:y=kx+t(t≠0),与圆的方程联立可得(1+k2)x2+2ktx+t2-4=0,得到根与系数的关系.利用直线OP、PQ、OQ的斜率成等比数列,可得$\frac{{y}_{1}{y}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$=k2,化为k2=1,即可求出直线l的斜率.
解答 解:设P(x1,y1),Q(x2,y2).
由题意可设直线l的方程为:y=kx+t(t≠0,±1).
联立圆O:x2+y2=4,化为(1+k2)x2+2ktx+t2-4=0.
∴x1+x2=-$\frac{2kt}{1+{k}^{2}}$,x1x2=$\frac{{t}^{2}-4}{1+{k}^{2}}$.
∵直线OP、PQ、OQ的斜率成等比数列,
∴$\frac{{y}_{1}{y}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$=k2,
∴(kx1+t)(kx2+t)=k2x1x2,
化为tk(x1+x2)+t2=0,
∴k•(-$\frac{2kt}{1+{k}^{2}}$)+t=0,
∴k2=1,
∴k=±1.
故答案为:±1.
点评 本题考查了直线与圆相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、等比数列的性质,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.
科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | (0,$\frac{3}{4}$) | B. | (-∞,$\frac{3}{4}$] | C. | ($\frac{1}{2}$,$\frac{3}{4}$) | D. | ($\frac{1}{2}$,+∞) |
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科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | 7 | B. | -$\frac{1}{3}$ | C. | -26 | D. | 6 |
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科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | [0,1)∪(1,+∞) | B. | (0,1)∪(1,+∞) | C. | (0,1) | D. | (-1,1) |
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
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