Question

8．设f（x）是定义在[-1，1]上的奇函数，f（1）=1，且对任意的a、b∈[-1，1]，当a+b≠0时，都有$\frac{f（a）+f（b）}{a+b}$＞0
（1）若a，b∈[-1，1]且a-b≠0，求证：$\frac{f（a）-f（b）}{a-b}$＞0，并据此说明函数f（x）的单调性；
（2）解不等式f（x-$\frac{1}{2}$）＜f（$\frac{1}{4}$-x）；
（3）若对于任意x∈[-1，1]，m²+2mx-2≤f（x）恒成立，求负数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）运用奇函数的定义和单调性的定义，将b换为-b，即可得证；
（2）由f（x）在[-1，1]递增，可得不等式组，注意定义域，解不等式即可得到所求解集；
（3）由题意可得由m＜0，即m²-2≤f（x）-2mx的最小值，运用单调性不等式右边函数的最小值，再解m的不等式即可得到所求范围．

解答 解：（1）证明：∵f（x）是定义在[-1，1]上奇函数，
∴f（-x）=-f（x）．
∵对任意的a，b∈[-1，1]，当a+b≠0时，都有$\frac{f（a）+f（b）}{a+b}$＞0，
∴-b∈[-1，1]，$\frac{f（a）+f（-b）}{a+（-b）}$＞0．
∴$\frac{f（a）-f（b）}{a-b}$＞0，
∴当a＞b时，f（a）＞f（b），
当a＜b时，f（a）＜f（b），
∴由a、b的任意性知：f（x）在区间[-1，1]上单调递增；
（2）由f（x）在[-1，1]递增，
f（x-$\frac{1}{2}$）＜f（$\frac{1}{4}$-x），
可得$\left\{\begin{array}{l}{-1≤x-\frac{1}{2}≤1}\\{-1≤\frac{1}{4}-x≤1}\\{x-\frac{1}{2}＜\frac{1}{4}-x}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{1}{2}≤x≤\frac{3}{2}}\\{-\frac{3}{4}≤x≤\frac{5}{4}}\\{x＜\frac{3}{8}}\end{array}\right.$，
可得-$\frac{1}{2}$≤x＜$\frac{3}{8}$．
则原不等式解集为[-$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{8}$）；
（3）对于任意x∈[-1，1]，m²+2mx-2≤f（x）恒成立，
由m＜0，即m²-2≤f（x）-2mx的最小值，
由f（x）在[-1，1]递增，2mx在[-1，1]递减，
且f（1）=1，f（-1）=-f（1）=-1，
可得f（x）-2mx的最小值为-1+2m，
即有m²-2≤2m-1，即m²-2m-1≤0，
解得1-$\sqrt{2}$≤m＜0．
则负数m的取值范围为[1-$\sqrt{2}$，0）．

点评 本题考查函数的奇偶性和单调性的运用，考查不等式恒成立问题的解法，考查化简整理的运算能力，属于中档题．