Question

【题目】已知函数.

（1）求函数的图象在（为自然对数的底数）处的切线方程；

（2）若对任意的，均有，则称为在区间上的下界函数，为在区间上的上界函数.

①若，求证：为在上的上界函数；

②若，为在上的下界函数，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）；（2）①证明见解析；②.

【解析】

（1）求出和的值，利用点斜式可求得所求切线的方程；

（2）①利用导数得出，，可得出，结合题中定义可得出结论；

②由题意得出对任意的恒成立，利用参变量分离法得出，设，利用导数求出函数在上的最小值，由此可求得实数的取值范围.

（1）因为，所以，

所以函数的图象在处的切线斜率.

又因为，所以函数的图象在处的切线方程为；

（2）①由题意得函数的定义域为.

令，得.

所以当时，；当时，.

故函数在上单调递增，在上单调递减.

所以.

因为，所以，

故当时，在上恒成立，所以在上单调递增，

从而，所以，即，

所以函数为在上的上界函数；

②因为函数为在上的下界函数，

所以，即.

因为，所以，故.

令，，则.

设，，则，

所以当时，，从而函数在上单调递增，

所以，

故在上恒成立，所以函数在上单调递增，

从而.

因为在上恒成立，所以在上恒成立，

故，即实数的取值范围为.