【题目】如图,四棱锥中,底面为矩形,平面,为上的一点, 平面 ;
(1)求证:为的中点;
(2)求证:
(3)设二面角为60°,,,求长.
【答案】(1)见解析;(2)见解析;(3).
【解析】
(1)连接BD交AC于O,连接EO.由线面平行的性质可得PB∥OE,故而得出E为PD的中点;
(2)证明CD⊥平面PAD,则可得出CD⊥AE;
(3)建立空间坐标系,求出两平面的法向量,利用法向量的夹角公式运算得出AB的长.
(1)连交于点,连结,
因为平面,PB平面PBD,平面平面,
∴,
∵为中点,∴为中点.
(2)∵PA⊥平面ABCD,CD平面ABCD,
∴PA⊥CD,
∵底面ABCD是矩形,∴CD⊥AD,
又PA∩AD=A,
∴CD⊥平面PAD,又AE平面PAD.
∴CD⊥AE.
(3)以A为原点,以AB,AD,AP为坐标轴建立空间坐标系如图所示,
设AB=a,则A(0,0,0),C(a,,0),D(0,,0),P(0,0,1),E(0,,),
∴(a,,0),(0,,),(0,0,1),
显然(1,0,0)为平面AED的一个法向量,
设平面ACE的法向量为(x,y,z),则,即,
令z得(,﹣1,),
∵二面角D﹣AE﹣C为60°,
∴|cos|=||,
解得a,即AB.
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【题目】设,分别为椭圆:的左右焦点,已知椭圆上的点到焦点,的距离之和为4.
(1)求椭圆的方程;
(2)过点作直线交椭圆于,两点,线段的中点为,连结并延长交椭圆于点(为坐标原点),若,,等比数列,求线段的方程.
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【题目】如图,曲线由曲线和曲线组成,其中点为曲线所在圆锥曲线的焦点,点为曲线所在圆锥曲线的焦点.
(1)若,求曲线的方程;
(2)如图,作直线平行于曲线的渐近线,交曲线于点,求证:弦的中点必在曲线的另一条渐近线上;
(3)对于(1)中的曲线,若直线过点交曲线于点,求的面积的最大值.
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【题目】中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题:“三百七十八里关,初行健步不为难,次日脚痛减一半,六朝才得到其关……”其大意为:“某人从距离关口三百七十八里处出发,第一天走得轻快有力,从第二天起,由于脚痛,每天走的路程为前一天的一半,共走了六天到达关口……” 那么该人第一天走的路程为______________
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【题目】已知椭圆的离心率为,短轴长为2;
(1)求椭圆的标准方程;
(2)设椭圆上顶点,左、右顶点分别为、.直线且交椭圆于、两点,点E 关于轴的对称点为点,求证: .
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【题目】给出下列命题:
(1)直线与线段相交,其中,,则的取值范围是;
(2)点关于直线的对称点为,则的坐标为;
(3)圆上恰有个点到直线的距离为;
(4)直线与抛物线交于,两点,则以为直径的圆恰好与直线相切.
其中正确的命题有_________.(把所有正确的命题的序号都填上)
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【题目】已知椭圆经过点.离心率.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)若M,N分别是椭圆长轴的左、右端点,动点D满足,连接MD交椭圆于点Q.问:x轴上是否存在异于点M的定点G,使得以QD为直径的圆恒过直线QN,GD的交点?若存在,求出点G的坐标;若不存在,说明理由.
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