Question

15．已知向量$\overrightarrow{OA}$=（k，12），$\overrightarrow{OB}$=（4，5），$\overrightarrow{OC}$=（10，k），求：
（1）当k为何值时，A，B，C三点共线？
（2）当k为何值时，∠ABC为直角？

Answer 1

分析 （1）先求出$\overrightarrow{AB}$和$\overrightarrow{AC}$，由A，B，C三点共线，得$\overrightarrow{AB}$∥$\overrightarrow{AC}$，由此能求出k．
（2）先求出$\overrightarrow{BA}$和$\overrightarrow{BC}$，由∠ABC为直角，得$\overrightarrow{BA}•\overrightarrow{BC}$=0，由此能求出k．

解答 解：（1）∵向量$\overrightarrow{OA}$=（k，12），$\overrightarrow{OB}$=（4，5），$\overrightarrow{OC}$=（10，k），
∴$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{OB}$-$\overrightarrow{OA}$=（4-k，-7），$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OA}$=（10-k，k-12），
∵A，B，C三点共线，∴$\overrightarrow{AB}$∥$\overrightarrow{AC}$，
∴（4-k）（k-12）-（-7）（10-k）=0，
解得k=-2或k=11．
∴k=-2或k=11时，A，B，C三点共线．
（2）∵∠ABC是直角，$\overrightarrow{BA}$=（k-4，7），$\overrightarrow{BC}$=$\overrightarrow{OC}$-$\overrightarrow{OB}$=（6，k-5），
∴$\overrightarrow{BA}•\overrightarrow{BC}$=（k-4，7）•（6，k-5）=6（k-4）+7（k-5）=0，
解得k=$\frac{59}{13}$．
∴k=$\frac{59}{13}$时，∠ABC为直角．

点评 本题考查向量的坐标运算法则的应用，是基础题，解题时要注意向量平行和向量垂直的性质的合理运用．