Question

如图，双曲线-=1（a，b＞0）的两顶点为A₁，A₂，虚轴两端点为B₁，B₂，两焦点为F₁，F₂．若以A₁A₂为直径的圆内切于菱形F₁B₁F₂B₂，切点分别为A，B，C，D．则：
（Ⅰ）双曲线的离心率e=    ；
（Ⅱ）菱形F₁B₁F₂B₂的面积S₁与矩形ABCD的面积S₂的比值=    ．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）直线B₂F₁的方程为bx-cy+bc=0，所以O到直线的距离为，根据以A₁A₂为直径的圆内切于菱形F₁B₁F₂B₂，可得，由此可求双曲线的离心率；
（Ⅱ）菱形F₁B₁F₂B₂的面积S₁=2bc，求出矩形ABCD的长与宽，从而求出面积S₂=4mn=，由此可得结论．
解答：解：（Ⅰ）直线B₂F₁的方程为bx-cy+bc=0，所以O到直线的距离为
∵以A₁A₂为直径的圆内切于菱形F₁B₁F₂B₂，
∴
∴（c²-a²）c²=（2c²-a²）a²
∴c⁴-3a²c²+a⁴=0
∴e⁴-3e²+1=0
∵e＞1
∴e=
（Ⅱ）菱形F₁B₁F₂B₂的面积S₁=2bc
设矩形ABCD，BC=2m，BA=2n，∴
∵m²+n²=a²，∴，
∴面积S₂=4mn=
∴==
∵bc=a²=c²-b²
∴
∴=
故答案为：，
点评：本题考查圆与圆锥曲线的综合，考查双曲线的性质，面积的计算，解题的关键是确定几何量之间的关系．