Question

已知函数
（Ⅰ）时，求在处的切线方程；
（Ⅱ）若对任意的恒成立，求实数的取值范围；
（Ⅲ）当时，设函数，若，求证：.

Answer 1

（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）详见解析.

试题分析：（Ⅰ）将代入，求导即得；（Ⅱ），即在上恒成立. 不等式恒成立的问题，一般有以下两种考虑，一是分离参数，二是直接求最值.在本题中，设，则，这里面不含参数了，求的最大值比较容易了，所可直接求最大值.（Ⅲ）本题首先要考虑的是，所要证的不等式与函数有什么关系？待证不等式可作如下变形：
，最后这个不等式与有联系吗？我们再往下看.
,所以在上是增函数.
因为，所以
即从这儿可以看出，有点联系了.
同理，
所以，
与待证不等式比较，只要问题就解决了，而这由重要不等式可证，从而问题得证.
试题解析：（Ⅰ），，所以切线为：即.         3分
（Ⅱ）,，即在上恒成立
设，，时，单调减，单调增，
所以时，有最大值.，
所以.         8分
法二、可化为.
令，则，所以
所以.
（Ⅲ）当时，,,所以在上是增函数，上是减函数.
因为，所以
即，同理.
所以
又因为当且仅当“”时，取等号.
又，,
所以，所以，
所以：.         14分