设a∈R,函数f(x)=x2+ax+4.(1)解不等式f(x)+f(-x)<10x;(2)求f(x)在区间[1,2]上的最小值g(a).
分析:(1)将自变量代入函数关系式,建立一元二次不等式,解之即可;
(2)函数的对称轴为
x=-,将对称轴移动,讨论对称轴与区间[1,2]的位置关系,合理地进行分类,从而求得函数的最小值.
解答:解:(1)f(x)+f(-x)<10x,即2x
2+8<10x,…(2分)
化简整理得x
2-5x+4<0,解得1<x<4.…(4分)
(2)函数f(x)=x
2+ax+4图象的对称轴方程是
x=-.
①当
-≤1,即a≥-2时,f(x)在区间[1,2]上单调递增,所以f(x)
min=f(1)=a+5; …(6分)
②当
1<-<2,即-4<a<-2时,f(x)在区间
[1, -]上单调递减,在
[-, 2]上单调递增所以,
f(x)min=f(-)=4-; …(8分)
③当
-≥2,即a≤-4时,f(x)在区间[1,2]上单调递减,所以f(x)
min=f(2)=2a+8.
综上,
g(a)= | a+5,a≥-2 | 4-,-4<a<-2 | 2a+8,a≤-4. |
| |
…(10分)
点评:函数的对称轴是解题的关键.由于对称轴所含参数不确定,而给定的区间是确定的,这就需要分类讨论.利用函数的图象将对称轴移动,合理地进行分类,从而求得函数的最值,当然应注意若求函数的最大值,则需按中间偏左、中间偏右分类讨论.