Question

已知两个非零向量

a

与

b

，定义

a

×

b

=|

a

||

b

|sinθ，其中θ为

a

与

b

的夹角．若

a

+

b

=(-1，3)，

a

-

b

=(-1，-1)，则

a

×

b

=

2

．

Answer 1

分析：根据向量

a

+

b

、

a

-

b

的坐标，求得

a

=(-1，1)，

b

=(0，2)，结合向量数量积的公式，计算出

a

与

b

的长度和夹角θ的余弦值．根据夹角θ的范围，结合同角三角函数的关系得到sinθ的值，最后利用公式

a

×

b

=|

a

||

b

|sinθ，即可算出答案．

解答：解：∵

a

+

b

=(-1，3)，

a

-

b

=(-1，-1)，
∴

a

=(-1，1)，

b

=(0，2)，
根据向量数量积的公式，得

a

•

b

=-1×0+1×2=2，
而

|a|

=

(-1)2+12

=

2

，

|b|

=

02+22

=2
结合θ为

a

与

b

的夹角，得cosθ=

a • b

|a| |b|

=

2

2 • 2

=

2

2

∵0≤θ≤π，∴θ=

π

4

，可得sinθ=

2

2

又∵

a

×

b

=|

a

||

b

|sinθ
∴

a

×

b

=

2

×2×

2

2

=2
故答案为：2

点评：本题给出一个新的定义

a

×

b

=|

a

||

b

|sinθ，通过求这个新定义的值，考查了向量和坐标表示、向量数量积的坐标公式、向量的长度公式及夹角公式等知识点，属于基础题．