Question

【题目】在平面直角坐标系xOy中，曲线y＝x2－2x—3与两条坐标轴的三个交点都在圆C上．若圆C与直线x－y＋a＝0交于A，B两点，

（1）求圆C的标准方程；

（2）若 （O为原点），求a的值．

Answer 1

【答案】. （1）(x－1)2＋(y+1)2＝5.（2）a＝-4

【解析】

（1）先求出曲线y＝x2－2x—3与两条坐标轴的三个交点坐标，设圆C的圆心为(1，t)，求出t的值和圆的半径，由此能求出圆C的方程.

（2）设A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立直线与圆的方程，根据一元二次方程判别式和韦达定理，以及，即可求出a 的值.

解：(1)曲线y＝x2－2x—3与y轴的交点为(0,-3)，与x轴的交点为(-1，0)，(3，0)．

故可设圆C的圆心为(1，t)，则有12＋(t+3)2＝(1+1)2＋t2，解得t＝.

则圆C的半径为.

则以圆C的方程为(x－1)2＋(y+1)2＝5.

(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

其坐标满足方程组：消去y，得到方程2x2＋2ax＋a2+2a-3＝0.

Δ＝24－16a－4a2>0，且x1＋x2＝－a，x1x2＝.①

由可得x1x2＋y1y2＝5，又y1＝x1＋a，y2＝x2＋a，

所以2x1x2＋a(x1＋x2)＋a2＝5.②

由①，②得a＝-4或a=2 ,

因为满足Δ>0，故a＝-4