分析 (1)由等差数列前n项和公式和通项公式列出方程组求出首项和公式,由此能求出数列{an}的通项公式.
(2)利用对数性质和等差数列前n项和公式能求出log2a1+log2a3+log2a5+…+log2a25的值.
(3)由bn=an+log2an=2n-2+n-2,利用分组求和法能求出数列{bn}的前n项和.
解答 解:(1)∵正项等比数列{an}前n项和为Sn,且满足S3=$\frac{7}{2}$,a6,3a5,a7成等差数列,
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{a}_{1}(1-{q}^{3})}{1-q}=\frac{7}{2}}\\{6{a}_{1}{q}^{4}={a}_{1}{q}^{5}+{a}_{1}{q}^{6}}\end{array}\right.$,且q>0,
解得q=2,${a}_{1}=\frac{1}{2}$,
∴数列{an}的通项公式an=$\frac{1}{2}×{2}^{n-1}$=2n-2.
(2)log2a1+log2a3+log2a5+…+log2a25
=$lo{g}_{2}{2}^{-1}+lo{g}_{2}2+lo{g}_{2}{2}^{3}$+…+$lo{g}_{2}{2}^{23}$
=-1+1+3+5+…+23
=$\frac{13}{2}$(-1+23)
=143.
(3)∵bn=an+log2an=2n-2+n-2,
∴数列{bn}的前n项和:
Tn=2-1+20+2+22+…+2n-2+(1+2+3+…+n)-2n
=$\frac{\frac{1}{2}(1-{2}^{n})}{1-2}$+$\frac{n(n+1)}{2}$-2n
=2n-1+$\frac{{n}^{2}-3n}{2}$-$\frac{1}{2}$.
点评 本题考查数列的通项公式及数列的前n项和的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意等差数列、等比数列性质及分组求和法的合理运用.
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