Question

如图，曲线C₁是以原点O为中心，F₁，F₂为焦点的椭圆的一部分，曲线C₂是以O为顶点，F₂（1，0）为焦点的抛物线的一部分，A(

3

2

，

6

)是曲线C₁和C₂的交点．
（I）求曲线C₁和C₂所在的椭圆和抛物线的方程；
（II）过F₂作一条与x轴不垂直的直线，与曲线C₂交于C，D两点，求△CDF₁面积的取值范围．

Answer 1

分析：（I）先设出抛物线以及椭圆方程，根据F₂（1，0）为焦点，求出p=1，得到抛物线方程；再根据（

3

2

，

6

）在椭圆上，即可求出椭圆方程；
（II）设出直线方程x=my+1，并根据条件求出m的取值范围；再联立直线与抛物线方程，根据韦达定理以及|y₁-y₂|=

(y1+y2) 2-4y1y2

求出三角形面积的表达式，最后结合m的取值范围即可求出△CDF₁面积的取值范围．

解答：解：（I）设抛物线方程为：y²=2px，由F₂（1，0）为焦点，所以p=1．∴y²=4x
设椭圆方程为

x2

a2

+

y2

a2-1

=1；代入（

3

2

，

6

），解得a²=9，
所以椭圆方程为：

x2

9

+

y2

8

=1．
（II）设直线方程为：x=my+1，则m∈（-

6

12

，0）∪（0，

6

12

）．
由

y2=4x x=my+1

得y²-4my-4=0．
设C（x₁，y₁），D（x₂，y₂）
则y₁+y₂=4m，y₁y₂=-4．
所以S△F1CD=

1

2

×2×|y₁-y₂|=

(y1+y2) 2-4y1y2

=4

m2+1

，因为m²∈（0，

1

24

）．
∴S_△∈（4，

5 6

3

）．

点评：本题主要考查直线与圆锥曲线的位置关系．解决第二问的关键在于把△CDF₁面积转化为上下两个三角形面积的和，进而转化为求|y₁-y₂|的问题．