Question

【题目】已知动点C到点F（1，0）的距离比到直线x=﹣2的距离小1，动点C的轨迹为E．
（1）求曲线E的方程；
（2）若直线l：y=kx+m（km＜0）与曲线E相交于A，B两个不同点，且 ，证明：直线l经过一个定点．

Answer 1

【答案】
（1）解：由题意可得动点C到点F（1，0）的距离等于到直线x=﹣1的距离，

∴曲线E是以点（1，0）为焦点，直线x=﹣1为准线的抛物线，

设其方程为y2=2px（p＞0），∴ ，∴p=2，

∴动点C的轨迹E的方程为y2=4x

（2）证明：设A（x1，y1），B（x2，y2），由 ，整理得k2x2+（2km﹣4）x+m2=0，

∴ ， ．

∵ ，

∴x1x2+y1y2= = ，

∴m2+4km﹣5k2=0，∴m=k或m=﹣5k，又km＜0，m=k舍去，m=﹣5k，满足△=16（1﹣km）＞0，

则直线l的方程为y=k（x﹣5），

∴直线l必经过定点（5，0）

【解析】（1）根据抛物线的定义，即可求得曲线E的方程；（2）设直线l的方程，代入抛物线方程，利用韦达定理及向量数量积的坐标运算，求得m=﹣5k，即可求得直线l的方程，则直线l必经过定点（5，0）．